Довідник з математики

АЛГЕБРА

Квадратні рівняння

Рівняння вигляду ax2+bx+c=0, у якому a, b і c — дійсні числа та a≠0, називається квадратним рівнянням.

4x2−3x+1=0

 

a=4

b=−3

 

c=1

Корені квадратного рівняння знаходять за формулами:

 

 x1 = −b+D−−√2⋅a   

 

x2 = −b−D−−√2⋅a,  де D= b2−4ac 

 

D називається дискримінантом.

 

За значенням дискримінанта можна визначити кількість коренів квадратного рівняння.
 

Якщо D<0 (від'ємний), то в рівняння немає дійсних коренів.

 

Якщо D=0, то рівняння має два рівних корені.

 

Якщо D>0 (додатний), то рівняння має два різних корені.

У наведеному квадратному рівнянні коефіцієнт при x2 дорівнює 1, тобто а=1.

 

x2+bx+c=0 можна розв'язати за допомогою теореми Вієта: {x1⋅x2=cx1+x2=−b

Неповні квадратні рівняння

Неповні квадратні рівняння мають два види:

 

1. Якщо c=0, то ax2+bx=0

  

2. Якщо b=0, то ax2+c=0

  

Неповні квадратні рівняння можна розв'язувати за допомогою формули дискримінанта, але раціональніше вибрати спеціальні способи:

 

1. ax2+bx=0 можна розв'язати, розклавши на множники (винести за дужки x):

 

x⋅(ax+b)=0

 

x=0  або ax+b=0    

Отже, один корінь дорівнює 0, а другий корінь x=−ba (оскільки добуток двох чисел дорівнює 0 лише тоді, коли хоча б один із множників дорівнює 0). 
 

2x2−30x=0x(2x−30)=0x=0або2x−30=02x=30x=15

 

Відповідь: x=0;  x=15

 

2. ax2+c=0 можна розв'язати, добуваючи корінь із кожної частини рівняння.

 

ax2=−c (обидві сторони діляться на a): x2=−ca

 

 |x|= −ca−−−√  

 

Добуваючи корінь із лівої частини рівняння, отримуємо x за модулем.

 

Це означає, що:

 

x1 = −ca−−−√

 

x2 = −−ca−−−√

  

4x2−100=04x2=100∣∣:4x2=25|x|=25−−√

 

Із цього випливає, що x=5 або x=−5

 

Відповідь: x1=5;   x2=−5

  

x2+36=0x2=−36  

 

У рівняння немає розв'язку, оскільки квадратний корінь із від'ємного числа не має сенсу (відомо також, що число в другому степені не може бути від'ємним).

 

Відповідь: коренів немає

 

Арифметична прогресія

Формули і властивості арифметичної прогресії.

Арифметична прогресія — числова послідовністьa₁, a₂, a₃, ..., в якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює сумі попереднього члена і деякого сталого числа d, яке називається кроком або різницею арифметичної прогресії. 

 

Геометрична прогресія

Геометрична прогресія — числова послідовність b₁, b₂, b₃, ..., в якій кожне наступне число, починаючи з другого, може бути отримано з попереднього множенням його на певне число q (знаменник прогресії), де b₁ ≠ 0, q ≠ 0.

 

Формули та властивості степенів

Число c називається n -тим степенем числа a якщо

c = an =	a · a · ... · a
	n

Формули та властивості степенів використовуються під час операцій скорочення та спрощення складних виразів при розв'язанні рівнянь та нерівностей.

1. a⁰ = 1      (a ≠ 0)

2. a¹ = a

3. aⁿ · a^m = a^{n + m}

4. (aⁿ)^m = a^nm

5. aⁿbⁿ = (ab)ⁿ

6. a^-n = 1aⁿ

7. aⁿa^m = a^{n - m}

8. a^1/n = ⁿ√a

 Основні властивості коренів.

Коренем n-того степеня із числа a називається таке число b, n-та степінь якого рівна a

  

 Формули скороченого множення.

 

 Квадрат суми

Означення.

Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого, плюс подвоєний добуток першого і другого, плюс квадрат другого: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Виведення формули квадрата суми

Для доказу справедливості формули квадрату суми достатньо перемножити вираз розкривши дужки:

(a + b)² = (a + b)·(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

Застосування формули квадрата суми

Формулу квадрата суми зручно використовувати:

• для розкриття дужок
• для спрощення виразів
• для обчислення квадратів великих чисел, не використовуючи калькулятор або множення у стовпчик

Геометрична інтерпретація

Формулу квадрату суми двох додатних чисел a та b можна зобразити геометрично

Розглянемо квадрат із стороною (a + b), його площа дорівнює (a + b)².

У протилежних кутах квадрата, що розглядається, побудуємо квадрати зі сторонами a та b.

Тоді великий початковий квадрат буде розділений на чотири частини: два квадрати з площами a² та b² , а також два прямокутники з рівними площами ab. Тоді отримуємо, що

(a + b)² = (a + b)·(a + b) = a² + b² + ab+ ab = a² + 2ab + b²

Приклади задач на застосування формули квадрата суми

Приклад 1.

Розкрити дужки (x + 3)².

Розв'язок:

(x + 3)² = x² + 2·3·x + 3² = x² + 6x + 9

Приклад 2.

Розкрити дужки (2x + 3y²)².

Розв'язок:

(2x + 3y²)² = (2x)² + 2·(2x)·(3y²) + (3y²)² = 4x² + 12xy² + 9y⁴

Приклад 3.

Спростити вираз 9x² + 6x + 1(3x + 1).

Розв'язок:

Можна помітити, що вираз у чисельнику – це розкладений квадрат суми

9x² + 6x + 1(3x + 1) = (3x + 1)²(3x + 1) = 3x + 1

Зауважимо, що за допомогою формули квадрата суми легко знаходити квадрати великих чисел, не використовуючи калькулятор чи множення стовпчик.

Приклад 4.

Обчислити 71².

Розв'язок:

71² = (70 + 1)² = 70² + 2·70·1 + 1² = 4900 + 140 + 1 = 5041

 

 Квадрат різниці

Означення.

Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого, плюс подвоєний добуток першого і другого, плюс квадрат другого: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Виведення формули квадрата суми

Для доказу справедливості формули квадрату суми достатньо перемножити вираз розкривши дужки:

(a + b)² = (a + b)·(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

Застосування формули квадрата суми

Формулу квадрата суми зручно використовувати:

• для розкриття дужок
• для спрощення виразів
• для обчислення квадратів великих чисел, не використовуючи калькулятор або множення у стовпчик

Геометрична інтерпретація

Формулу квадрату суми двох додатних чисел a та b можна зобразити геометрично

Розглянемо квадрат із стороною (a + b), його площа дорівнює (a + b)².

У протилежних кутах квадрата, що розглядається, побудуємо квадрати зі сторонами a та b.

Тоді великий початковий квадрат буде розділений на чотири частини: два квадрати з площами a² та b² , а також два прямокутники з рівними площами ab. Тоді отримуємо, що

(a + b)² = (a + b)·(a + b) = a² + b² + ab+ ab = a² + 2ab + b²

Приклади задач на застосування формули квадрата суми

Приклад 1.

Розкрити дужки (x + 3)².

Розв'язок:

(x + 3)² = x² + 2·3·x + 3² = x² + 6x + 9

Приклад 2.

Розкрити дужки (2x + 3y²)².

Розв'язок:

(2x + 3y²)² = (2x)² + 2·(2x)·(3y²) + (3y²)² = 4x² + 12xy² + 9y⁴

Приклад 3.

Спростити вираз 9x² + 6x + 1(3x + 1).

Розв'язок:

Можна помітити, що вираз у чисельнику – це розкладений квадрат суми

9x² + 6x + 1(3x + 1) = (3x + 1)²(3x + 1) = 3x + 1

Зауважимо, що за допомогою формули квадрата суми легко знаходити квадрати великих чисел, не використовуючи калькулятор чи множення стовпчик.

Приклад 4.

Обчислити 71².

Розв'язок:

71² = (70 + 1)² = 70² + 2·70·1 + 1² = 4900 + 140 + 1 = 5041

 Різниця квадратів

Означення.

Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів на різницю цих виразів: a² - b² = (a + b)·(a - b)

Вивід формули різниці квадратів

Для доказу справедливості формули різниці квадратів достатньо перемножити вирази розкривши дужки:

(a - b)·(a + b) = a² + ab - ba + b² = a² - b²

Застосування формули різниці квадратів

Формулу різниці квадратів зручно використовувати:

• для розкриття дужок
• для спрощення виразів

Приклади завдань застосування формули квадрата різниці

Приклад 1.

Розкрити дужки (x - 3)·(x + 3).

Розв'язок:

(x - 3)·(x + 3) = x² - 3² = x² - 9

Приклад 2.

Розкрити дужки (2x - 3y²)·(2x + 3y²).

Розв'язок:

(2x - 3y²)·(2x + 3y²) = (2x)² - (3y²)² = 4x² - 9y⁴

Приклад 3.

Спростити вираз 9x² - 1(3x - 1).

Розв'язок:

Можна помітити, що для виразу у чисельнику можна використати формулу різниці квадратів

9x² - 1(3x - 1) = (3x - 1)·(3x + 1)(3x - 1) = 3x + 1      Куб  суми

Означення.

Куб суми двох виразів дорівнює кубу першого, плюс потрійний добуток квадрата першого виразу та другого виразу, плюс потрійний добуток квадрата другого виразу та першого виразу, плюс куб другого виразу: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Виведення формули куба суми

Для доказу справедливості формули куба суми достатньо перемножити вираз розкривши дужки:

(a + b)³ = (a + b)·(a + b)² =

= (a + b)·(a² + 2ab + b²) =

= a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2b²a + b³ =

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Застосування формули куба суми

Формулу куба суми зручно використовувати:

• для розкриття дужок
• для спрощення виразів

Приклади завдань застосування формули куба суми

Приклад 1.

Розкрити дужки (x + 3)³.

Розв'язок:

(x + 3)³ = x³ + 3·3·x² + 3·3²·x + 3³ =

= x³ + 9x² + 27x + 27

Приклад 2.

Розкрити дужки (2x + 3y²)³.

Розв'язок:

(2x + 3y²)³ =

= (2x)³ + 3·(2x)²·(3y²) + 3·(2x)·(3y²)² + (3y²)³ =

= 8x³ + 36x²y² + 54xy⁴ + 27y⁶

Приклад 3.

Спростити вираз 27x³ + 27x² + 9x +19x² + 6x + 1.

Розв'язок:

Можна помітити, що вираз у чисельнику – це розкладений куб суми, а у знаменнику – квадрат суми

27x³ + 27x² + 9x +19x² + 6x + 1 = (3x + 1)³(3x + 1)² = 3x + 1 Куб  різниці

Означення.

Куб різниці двох виразів дорівнює кубу першого, мінус потрійний добуток квадрата першого виразу та другого виразу, плюс потрійний добуток квадрата другого виразу та першого виразу, мінус куб другого виразу: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Вивід формули куба різниці

Для доказу справедливості формули куба різниці достатньо перемножити вирази розкривши дужки:

(a - b)³ = (a - b)·(a - b)² =

= (a - b)·(a² - 2ab + b²) =

= a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2b²a - b³ =

= a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Застосування формули куба різниці

Формулу куба різниці зручно використовувати:

• для розкриття дужок
• для спрощення виразів

Приклади завдань застосування формули куба різниці

Приклад 1.

Розкрити дужки (x - 3)³.

Розв'язок. Для вирішення скористаємося формулою куба різниці:

(x - 3)³ = x³ - 3·3·x² + 3·3²·x - 3³ =

= x³ - 9x² + 27x - 27

Приклад 2.

Розкрити дужки (2x - 3y²)³.

Розв'язок. Для вирішення скористаємося формулою куба різниці:

(2x - 3y²)³ =

= (2x)³ - 3·(2x)²·(3y²) + 3·(2x)·(3y²)² - (3y²)³ =

= 8x³ - 36x²y² + 54xy⁴ - 27y⁶

Приклад 3.

Спростити вираз 27x³ - 27x² + 9x - 19x² - 6x + 1.

Розв'язок:

Можна помітити, що вираз у чисельнику – це розкладений куб різниці, а у знаменнику – квадрат різниці

27x³ - 27x² + 9x - 19x² - 6x + 1 = (3x - 1)³(3x - 1)² = 3x - 1 Сума кубів

Означення.

Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів на неповний квадрат їх різниці: a³ + b³ = (a + b)·(a² - ab + b²)

Виведення формули суми кубів

Для доказу справедливості формули суми кубів достатньо перемножити вираз розкривши дужки:

(a + b)·(a² - ab + b²) =

= a³ - a²b + ab² + ba² - ab² + b³ = a³ + b³

Застосування формули суми кубів

Формулу суми кубів зручно використовувати:

• для розкладання на множники
• для спрощення виразів

Приклади завдань на застосування формули суми кубів

Приклад 1.

Розкласти на множники x³ + 27.

Розв'язок:

x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3)·(x² - 3x + 9)

Приклад 2.

Розкласти на множники 8x³ + 27y⁶.

Розв'язок:

8x³ + 27y⁶ = (2x)³ + (3y²)³ =

= (2x + 3y²)·(4x² - 6xy² + 9y⁴)

Приклад 3.

Спростити вираз 27x³ + 13x + 1.

Розв'язок:

Можна помітити, що для виразу в чисельнику можна застосувати формулу суми кубів.

27x³ + 13x + 1 = (3x + 1)·(9x² - 3x +1)3x + 1 = 9x² - 3x +1

 Різниця кубів 

Означення.

Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів на неповний квадрат їх суми: a³ - b³ = (a - b)·(a² + ab + b²)

Вивід формули різниці кубів

Для доведення справедливості формули різниці кубів достатньо перемножити вирази розкривши дужки:

(a - b)·(a² + ab + b²) =

= a³ + a²b + ab² - ba² - ab² - b³ = a³ - b³

Застосування формули різниці кубів

Формулу різниці кубів зручно використовувати:

• для розкладання на множники
• для спрощення виразів

Приклади задач на застосування формули різниці кубів

Приклад 1.

Розкласти на множники x³ - 27.

Розв'язок:

x³ - 27 = x³ - 3³ = (x - 3)·(x² + 3x + 9)

Приклад 2.

Розкласти на множники 8x³ - 27y⁶.

Розв'язок:

8x³ - 27y⁶ = (2x)³ - (3y²)³ =

= (2x - 3y²)·(4x² + 6xy² + 9y⁴)

 

Приклад 3.

Спростити вираз 27x³ - 13x - 1.

Розв'язок:

Можна помітити, що для виразу у чисельнику можна застосувати формулу різниці кубів.

27x³ - 13x - 1 = (3x - 1)·(9x² + 3x +1)3x - 1 = 9x² + 3x +1 

Інтергали

Основні формули

1.	∫ 0·dx = C
2.	∫ a dx = ax + C      (a = const)
3.	∫ xn dx = xn+1n + 1 + C      (n ≠ -1)
4.	∫ dx/x = ln |x| + C
5.	∫ ax dx = axln a + C
6.	∫ ex dx = ex + C
7.	∫ sin x dx = -cos x + C
8.	∫ cos x dx = sin x + C
9.	∫ dx/sin2 x = -ctg x + C
10.	∫ dx/cos2 x = tg x + C

Загальні правила інтегрування функцій

∫

c f(x) dx = c

∫

f(x) dx

∫

[ f(x) + g(x)] dx =

∫

f(x) dx +

∫

g(x) dx

∫

[ f(x) - g(x)] dx =

∫

f(x) dx -

∫

g(x) dx

∫

f(x)g(x) dx = f(x)

∫

g(x) dx -

∫∫

g(x) dx df(x)

Інтеграли від раціональних функцій

 
Похідні функції
 

Загальні формули диференціювання функцій

В цих формулах u і v — довільні диференційовані функції дійсної змінної, а c — дійсна константа. Цих формул достатньо для диференціювання будь-якої елементарної функції.

Таблиця похідних основних елементарних функцій

Похідна від константи

c ′ = 0, де c = const

Похідна степеневої функції

(xⁿ )′ = n · x^{n - 1}

Похідна показникової функції

(a^x )′ = a^x · ln a

Похідна експоненти

(e^x )′ = e^x

Похідні логарифмів

Похідні тригонометричних функцій

(sin x)′ = cos x

(cos x)′ = -sin x

(tg x)′ =	1
	cos 2 x

(ctg x)′ = -	1
	sin 2 x

Похідні обернених тригонометричних функцій

  ГЕОМЕТРІЯ 

Формули площі трикутника

1. Формула площі трикутника за стороною та висотою
   Площа трикутника дорівнює половині добутку довжини сторони трикутника та довжини проведеної до цієї сторони висоти

   S =	1	a · h
   	2
2. Формула площі трикутника за трьома сторонами
   

   Формула Герона

   S = √p(p - a)(p - b)(p - c)
3. Формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними
   Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін помноженого на синус кута між ними.
   

   S =	1	a · b · sin γ
   	2

   S =	1	a · c · sin β
   	2

   S =	1	b · c · sin α
   	2

4. Формула площі трикутника за трьома сторонам і радіусом описаного кола
   

   S =	a · b · с
   	4R

5. Формула площі трикутника за трьома сторонами і радіусом вписаного кола
   Площа трикутника дорівнює добутку півпериметра трикутника на радіус вписаного кола.
   

   S = p · r

де S - площа трикутника,
a, b, c - довжини сторін трикутника,
h - висота трикутника,
γ - кут між сторонами a и b,
r - радіус вписаного кола,
R - радіус описаного кола,


p =	a + b + c	- півпериметр трикутника.
	2

Формули площі квадрата

1. Формула площі квадрата за довжиною сторони
   Площа квадрата дорівнює квадрату довжини його сторони.
   
   

   S = a²
2. Формула площі квадрата за довжиною діагоналі
   Площа квадрата дорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.
   

   S =	1	d2
   	2

   де S - Площа квадрата,
   a - довжина сторін квадрата,
   d - довжина діагоналей квадрата.

Формула площі прямокутника

Площа прямокутника дорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін

S = a · b

де S - площа прямокутника,
a, b - довжини сторін прямокутника.

Формули площі паралелограма

1. Формула площі паралелограма за довжиною сторони і висоти
   Площа паралелограма дорівнює добутку довжин його сторони і опущеної на цю сторону висоти.
   
   

   S = a · h
2. Формула площі паралелограма за двома сторонами і кутом між ними
   Площа паралелограма дорівнює добутку довжин його сторін помноженому на синус кута між ними.
   

   S = a · b · sin α
3. Формула площі паралелограма за двома діагоналями і кутом між ними
   Площа паралелограма дорівнює половині добутку довжин його діагоналей, помноженого на синус кута між ними.
   

   S =	1	d1d2 sin γ
   	2

   S =	1	d1d2 sin γ
   	2

   де S - площа паралелограма,
   a, b - довжини сторін паралелограма,
   h - довжина висоти паралелограма,
   d₁, d₂ - довжини діагоналей паралелограма,
   α - кут між сторонами паралелограма,
   γ - кут між діагоналями паралелограма.

Формули площі ромба

1. Формула площі ромба за довжиною сторони і висоти
   Площа ромба дорівнює добутку довжин його сторони і опущеної на цю сторону висоти.
   
   

   S = a · h
2. Формула площі ромба за довжиною сторони і кутом
   Площа ромба дорівнює добутку квадрату довжини його сторони і синуса кута між сторонами ромба.
   

   S = a² · sin α
3. Формула площі ромба за довжинами його діагоналей
   Площа ромба дорівнює половині добутку довжин його діагоналей.
   
   

   S =	1	d1 · d2
   	2

   де S - площа ромба,
   a - довжина сторони ромба,
   h - довжина висоти ромба,
   α - кут між сторонами ромба,
   d₁, d₂ - довжини діагоналей.

Формула площі трапеції

1. Формула Герона для трапеції
   
   

   S =	a + b	√(p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d)
   	|a - b|

2. Формула площі трапеції за довжиною основ і висоти
   Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ та висоти
   

   S =	1	(a + b) · h
   	2

   де S - площа трапеції,
   a, b - довжини основ трапеції,
   c, d - довжини бокових сторін трапеції,
   

   p =	a + b + c + d	- півпериметр трапеції.
   	2

Формули площі опуклого чотирикутника

1. Формула площі чотирикутника за довжинами діагоналей і кутом між ними
   Площа опуклого чотирикутника дорівнює половині добутку йог діагоналей помноженому на синус кута між ними:
   
   

   S =	1	d1 d2 sin α
   	2

   де S - площа чотирикутника,
   d₁, d₂ - довжини діагоналей чотирикутника,
   α - кут між діагоналями чотирикутника.
   
   
2. Формула площі описаного чотирикутника (за довжиною периметру і радіусу вписаного кола)

Формули площі круга

1. Формула площі круга через радіус
   Площа круга дорівнює добутку квадрату радіуса та числа пі.
   
   

   S = π r²
2. Формула площі круга через діаметр
   Площа круга дорівнює чверті добутку квадрата діаметра та числа пі.

   S =	1	π d2
   	4

   де S - площа круга,
   r - довжина радіуса круга,
   d - довжина діаметра круга.

Сфера, куля, сегмент.

Означення.

Сфера (поверхня кулі) — це сукупність усіх точок у тривимірному просторі, які знаходяться на однаковій відстані від однієї точки, що називається центром сфери (О).

Сферу можна описати як об'ємну фігуру, що утворюється підчас обертання кола навколо свого діаметру на 180° чи півкола навколо свого діаметру на 360°.

Означення.

Куля — це сукупність усіх точок у тривимірному просторі, відстань від яких не перевищує певної відстані від однієї точки, що називається центром кулі (О). (Сукупність усіх точок тривимірного простору обмежених сферою).

Кулю можна описати як об'ємну фігуру, що утворюється обертанням кругу навколо свого діаметру на 180° або напівкругу навколо свого діаметру на 360°.

Означення. Радіус сфери (кулі) (R) - це відстань від центру сфери (кулі) O до будь-якої точки сфери (поверхні кулі).

Означення. Діаметр сфери (кулі) (D) - це відрізок, що з'єднує дві точки сфери (поверхні кулі) та проходить крізь її центр.

Формула. Об'єм кулі:

V =	4	πR3 =	1	πD3
	3		6

Формула. Площа поверхні сфери через радіус або діаметр:

S = 4πR² = πD²

Конус.

Конус — це геометричне тіло, яке утворене сукупністю всіх променів, що виходять з точки та перетинають будь-яку плоску поверхню. В місці перетину утворюється основа конуса.

Мал.1		Мал.2
Мал.3		Мал.4

Елементи конуса

Означення. Вершина конуса - це точка (K), з якої виходять промені.

Основа конуса - це площина, що утворена внаслідок перетину плоскої поверхні та всіх променів, що виходять з вершини конуса. У конуса можуть бути такі основи, як круг, еліпс, гіпербола та парабола.

Твірною конуса (L) називається будь-який відрізок, які сполучає вершину конуса з межею основи конуса. Твірна є відрізком променя, що виходить з вершини конуса.

Бічна поверхня конуса - це сукупність усіх твірних конуса. Тобто, поверхня, яка утворюється рухом твірної по напрямній конуса.

Формула. Площа бічної поверхні (S_b) прямого конуса через радіус R та довжину твірної L:

S_b = πRL

Формула. Загальна площа поверхні (S_p) прямого кругового конуса через радіус R та довжину твірної L:

S_p = πRL + πR²

Циліндр

Циліндр — це геометричне тіло що обмежене циліндричною поверхнею та двома площинами основами циліндра.

Циліндрична поверхня — поверхня, отримана під час руху прямої (твірної L) паралельно самій собі, вздовж плоскої кривої напрямної.

Основи циліндра - плоскі фігури, отримані перетином циліндричної поверхні з двома площинами.

В більшості випадків під циліндром розуміють прямий круговий циліндр, у якого напрямна — коло, а основи перпендикулярні твірній L. У такого циліндра є вісь симетрії.

Прямий круговий циліндр можна описати, як об'ємну фігуру, яка утворюється обертанням прямокутника навколо своєї сторони на 360°.

Радіус циліндра r - це радіус основи циліндра.

 Діаметр циліндра d - це діаметр основи циліндра.

 Висота циліндра h - це відстань між основами циліндра.

Вісь циліндра - це пряма O₁O₂, яка проходить через центри основ циліндра.

Поверхня циліндра складається з циліндричної поверхні та основ циліндра.

 Осьовий переріз циліндра - це переріз циліндра площиною, яка проходить через вісь циліндра.

Формула. Об'єм циліндра:

V = πr2h = π	d2	h ,
	4

де r - радіус основи, h - висота циліндра, d - діаметр основи.

Формула. Площа бічної поверхні циліндра:

S_b = 2πrh = πdh

Формула. Повна площа поверхні циліндра:

S = 2πr(h + r)